बुद्धीमत्ता चाचणी

सरासरी

·         N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या 

·         क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते. 

·         उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14 

·         संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी 
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2 

·         उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13 

·         1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10 

·         N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

·         उदा.

·         1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810

·         (31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)

नमूना पहिला –

उदा.

चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?

1.    32

2.    30

3.    34

4.    28

उत्तर : 32

क्लृप्ती :-

सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.

32, 34, [35], 36, 38

नियम –

क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2

वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5,  1+10/2 = 5.5  

यावरून (10.5-5.5) = 5

 

नमूना दूसरा –

उदा.

क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?

1.    5050

2.    10050

3.    10100

4.    2525

उत्तर : 5050

क्लृप्ती :

क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा

= 101×100/2 = 101×50 = 5050  

 

नमूना तिसरा-

उदा.

35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?

1.    3

2.    5

3.    0

4.    7

उत्तर : 0

क्लृप्ती :  

सरासरी = 39 [मधली संख्या  (35 36 39 45 4*)]

एकूण = 39×5 = 195  

एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25    

0+5 = 5     

:: * = 0

 

नमूना चौथा –

उदा.

क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?

1.    44

2.    43

3.    42

4.    40

उत्तर : 42

क्लृप्ती :

एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42

 

नमूना पाचवा –

उदा.

एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?

1.    74 कि.ग्रॅ.

2.    71 कि.ग्रॅ.

3.    75 कि.ग्रॅ.

4.    100 कि.ग्रॅ.

उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.

नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी

क्लृप्ती :

सरसरीतील फरक = 24 -22   2×25.    

नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74

 

नमूना सहावा –

उदा.

एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?

1.    60

2.    45

3.    40

4.    50

उत्तर : 60

स्पष्टीकरण :-

15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे

उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.

उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी

:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी

 

नमूना सातवा –

उदा.

एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?

1.    285

2.    2375

3.    1800

4.    1950

उत्तर : 1800

क्लृप्ती : -

(155 – सरसरीतील फरक)×15

= (155-35)×15

= 120×15

= 1800

 

नमूना आठवा –

उदा.

ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?

1.    300 कि.मी.

2.    150 कि.मी.

3.    450 कि.मी.

4.    यापैकी नाही

उत्तर : 150 कि.मी.

स्पष्टीकरण :-

एकूण अंतर x मानू

∷x/50-x/60=30/60    

∶:(6x-5x)/300=1/2     

x= 300/2

=150 कि.मी.

विभाजतेच्या कसोट्या

विभाजतेच्या कसोट्या :

2 ची कसोटी :
- ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 2, 4, 6, 8 अशा संख्या असतात.
- उदा. 42, 52 68, 86, 258, 1008 इ.

3 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला तीनने भाग जातो, त्या संख्येला तीनने भाग जातो.
- उदा. 57260322, 5+7+2+6+0+3+2+2=27
- संख्येची बेरीज 27 आणि तिला तीनने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला तीनने भाग जातो.

4 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांना चार ने भाग जातो. त्या संख्येला चारने भाग जातो.
- उदा. 3568912
- शेवटचे दोन अंक 12 आणि त्याला चारने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला चारने भाग जातो.

5 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 किवा 5 असेल, त्या संख्येला पाचने भाग जातो.
- उदा. 3725480, 58395, 5327255 इ.

6 ची कसोटी :
ज्या संखेळा 2 आणि 3 ने भाग जातो त्या संख्येला 6 ने पण भाग जातो.

9 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला नऊने भाग जातो, त्या संख्येला नऊने भाग जातो.
- उदा. 57260322, 5+7+2+6+0+3+2+2=27
- संख्येची बेरीज 27 आणि तिला नऊने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला नऊने भाग जातो.

10 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 असतो त्या संख्येला 10 ने भाग जातो.
- उदा. 100, 60, 5640, 57480, 354748, 3450 इ.

11 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येतील फरक 0 किवा ती संख्या 11 च्या पटीतील असेल तर त्या संख्येस 11 ने भाग जातो.
- उदा. 956241 1+2+5=8 & 9+6+4=19 दोघातील फरक 11 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.
- 72984 4+9+7=20 & 8+2=10 दोघांतील फरक -10 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जात नाही.
- 5984 4+9=13 & 5+8=13 दोघांतील फरक 0 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.

12 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येला 3 ने आणि 4 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 12 ने पूर्ण भाग जातो.

15 ची कसोतो : 
- ज्या संख्येला 5 आणि 3 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 15 ने पूर्ण भाग जातो.

16 ची कसोटी : 
- ज्या संखेच्या शेवटच्या चार अंकांना 16 ने भाग गेल्यास त्या संख्येला पण 16 ने भाग जातो.

18 ची कसोटी : 
- ज्या संख्येला 2 आणि 9 ने भाग जातो त्या संख्येला 18 ने भाग जातो.

उदाहरणे :
1) 2 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती? 
1. 3721
2. 47953 
3. 72142
4. 68325
उत्तर : 72142
नियम: संख्येतील एकक स्थानचा अंक सम असल्यास 2 ने नि:शेष भाग जातो.

2) 3 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 37241
2. 571922
3. 7843
4. 64236
उत्तर : 64236
नियम: 
संख्येतील अंकांच्या बेरजेस 3 ने पूर्ण भाग गेल्यास
6+4+2+3+6=21÷3 = 7

3) 5 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 56824
2. 9876
3. 7214
4. 7485
उत्तर : 7485
नियम: संख्येच्या एककस्थानी 0 किंवा 5 असल्यास 5 ने नि:शेष भाग जातो.

4) 6 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 3472
2. 5634
3. 9724
4. 6524
उत्तर : 5634

5) 9 ने नि:शेष भाग जाणारी खालील पैकी संख्या कोणती?
1. 12643 
2. 85521
3. 75636
4. 54829
उत्तर : 75636

 (ब) संख्यांचे विभाजक

नमूना पहिला –
1) 60 या संख्येच्या एकूण विभाजकांची संख्या किती?
1. 10
2. 12
3. 14
4. 8
उत्तर : 12
स्पष्टीकरण :-
कोणत्याही सम संख्येचे विभाजक 1,2 व ती संख्या असतेच.
60×1, 30×2, 20×3, 15×4, 12×5, 10×6 
:: 6×2 = 12

नमूना दूसरा –
1) 36 ही संख्या दोन पूर्ण संख्यांचा गुणाकाराच्या रूपात जास्तीत जास्त किती प्रकारे (वेळा) लिहिता येईल?
1. 4
2. 6
3. 5
4. 8
उत्तर : 5
स्पष्टीकरण : 
1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6 म्हणजेच एकूण 5 वेळा लिहिता येईल.

संख्या व संख्यांचे प्रकार

समसंख्या :

·         ज्या संख्येला 2 ने पूर्ण भाग जातो, त्या संख्येला सम संख्या म्हणतात. 

विषमसंख्या :

·         ज्या संख्येला 2 ने पूर्ण भाग जात नाही, त्या संख्येला विषमसंख्या म्हणतात. 

·         विषम संख्येच्या एकक स्थानी 1, 3, 5, 7, 9 हे अंक येतात.

संख्यांचे प्राथमिक क्रियाविषयक नियम :

1.    सम संख्या + सम संख्या = सम संख्या 

2.    सम संख्या + विषम संख्या = विषम संख्या 

3.    विषम संख्या – विषम संख्या = सम संख्या 

4.    सम संख्या x सम संख्या = सम संख्या 

5.    विषम संख्या x विषम संख्या = विषम संख्या 

6.    सम संख्या – सम संख्या = सम संख्या 

7.    सम संख्या – विषम संख्या = विषम संख्या 

8.    विषम संख्या + विषम संख्या = सम संख्या 

9.    सम संख्या x विषम संख्या = सम संख्या 

मूळ संख्या :

·         ज्या संख्येस फक्त त्याच संख्येने किंवा 1 नेच पूर्ण भाग जातो, त्या संख्येला मूळ संख्या म्हणतात. 

·         उदा. 2, 3, 5, 7, 11, 13 इत्यादी. 

·         (फक्त 2 ही समसंख्या मूळसंख्या आहे. बाकी सर्व मूळसंख्या ह्या विषम संख्या आहेत) 1 ते 100 संख्यांचा दरम्यान एकूण 25 मूळ संख्या आहेत, त्या खाली दिल्या आहेत. 

जोडमुळ संख्या :

·         ज्या दोन मूळ संख्यात केवळ 2 च फरक असतो, अशा 1 ते 100 मध्ये एकूण आठ जोडमुळ संख्यांच्या जोडया आहेत. 

·         उदा. 3-5, 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 41-43, 59-61, 71-73. 

संयुक्त संख्या :

·         मूळ संख्या नसलेल्या नैसर्गिक संख्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात. 

उदा. 4,6,8,9,12 इ. 

अंकांची स्थानिक किंमत :

A. संख्येतील कोणत्याही अंकाची स्थानिक किंमत काढताना त्या अंकापुढे जेवढे अंक असतील तेवढे शून्य त्या अंकापुढे देतात.

 

उदा. 45123 या संख्येतील 5 ची स्थानिक किंमत 5000, तर 2 ची स्थानिक किंमत 20 होय.

B. एक अंकी एकूण संख्या 9 आहेत. तर दोन अंकी 90, तीन अंकी 900 आणि चार अंकी एकूण संख्या 9000 आहेत.

 

C. लहानात लहान – एक अंकी संख्या 1 आहे, तर दोन अंकी संख्या 10, तीन अंकी संख्या 100 आहे.

याप्रमाणे 0 वाढवीत जाणे.

 

D. मोठयात मोठी – एक अंकी संख्या 9, दोन अंकी संख्या 99, तीन अंकी संख्या 999 आहे. पुढे याचप्रमाणे 9 वाढवीत जाणे.

 

E. कोणत्याही संख्येला 0 ने गुणले असता उत्तर 0 येते.

 

F. 0 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांत –

 

i) 2 पासून 9 पर्यंतचे अंक प्रत्येकी 20 वेळा येतात.

 

ii) 1 हा अंक 21 वेळा येतो

 

iii) 0 हा अंक 11 वेळा येतो.

 

G. 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांत –

 

अ. 2 पासून 9 पर्यंतचे अंक असलेल्या एकूण संख्या प्रत्येकी 19 येतात.

 

ब. दोन अंकी संख्यात 1 ते 9 या अंकाच्या प्रत्येकी 18 संख्या असतात.

 

त्रिकोणी संख्या :

·         दोन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकाराच्या निमपटीस त्रिकोणी संख्या म्हणतात.  

·         उदा : 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91, इत्यादी 

·         त्रिकोणी संख्या = n x(n+1)/2 या सूत्रात n = नैसर्गिक संख्या (1,2,3,4____)

दोन संख्यांची बेरीज :

1) दोन अंकी दोन संख्यांची बेरीज 19 पेक्षा मोठी व 199 पेक्षा लहान असते.

 

कारण 10 + 10 = 20 आणि 99+99 = 198

 

2) तीन अंकी दोन संख्यांची बेरीज 199 पेक्षा मोठी आणि 1999 पेक्षा लहान असते.

 

3) चार अंकी दोन संख्यांची बेरीज 1999 पेक्षा मोठी आणि 19999 पेक्षा लहान असते.

 

दोन संख्यांचा गुणाकार :

1) दोन अंकी दोन संख्यांचा गुणाकार 3 अंकी अथवा 4 अंकी येतो. 30 च्या आतील दोन संख्याचा गुणाकार तीन अंकी येतो व 30 च्या पुढील संख्यांचा     गुणाकार चार अंकी येतो.

 

2) तीन अंकी दोन संख्यांचा गुणाकार 5 अंकी अथवा 6 अंकी येतो. 300 च्या आतील दोन संख्यांचा गुणाकार 5 अंकी येतो व 300 च्या पुढील अंकांचा गुणाकार सहा अंकी येतो.

3) तीन अंकी संख्या व दोन अंकी संख्या यांचा गुणाकार 5 अंकी अथवा 4 अंकी येतो.

 

300 च्या आतील तीन अंकी 2 संख्यांचा गुणाकार 5 अंकी येतो.

 

उदा : 3 x 3 = 9  300 x 300 = 90000

 

एकक स्थानच्या अंकांचा गुणाकार = 8 x 3 = 24

 

एकक स्थानी 4 असलेली पाच अंकी संख्या = 39974

 

 

 

 

अक्षरमाला भाग

1. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

SCD, TEF, UGH, ____, WKL

A. CMN    

B. UJI

C. VIJ   

D. IJT

 

2. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

B2CD, _____, BCD4, B5CD, BC6D

A. B2C2D    

B. BC3D  

C. B2C3D    

D. BCD7

 

3. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

FAG, GAF, HAI, IAH, ____

A. JAK   

B. HAL

C. HAK    

D. JAI

 

4. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

ELFA, GLHA, ILJA, _____, MLNA

A. OLPA    

B. KLMA

C. LLMA    

D. KLLA

  

5. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

CMM, EOO, GQQ, _____, KUU

A. GRR    

B. GSS

C. ISS   

D. ITT

 

6. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

ZA5, Y4B, XC6, W3D, _____

A. E7V    

B. V2E

C. VE5    

D. VE7  

 

7. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

QPO, NML, KJI, _____, EDC

A. HGF   

B. CAB

C. JKL    

D. GHI

 

8. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

JAK, KBL, LCM, MDN, _____

A. OEP    

B. NEO  

C. MEN    

D. PFQ

 

9. रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

BCB, DED, FGF, HIH, ___

A. JKJ   

B. HJH

C. IJI    

D. JHJ

 

10.रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून खालील अक्षरमाला पूर्ण करा -

P5QR, P4QS, P3QT, _____, P1QV

A. PQW    

B. PQV2

C. P2QU   

D. PQ3U

( उत्तरे : Q.1 = C, Q.2 = B, Q.3 = A, Q.4 = D, Q.5 = C, Q.6 = D, Q.7 = A, Q.8 = B, Q.9 = A, Q.10 = C )

 

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर -

1.    1 तास = 60 मिनिटे     

2.    0.1 तास = 6 मिनिटे   

3.    0.01 तास = 0.6 मिनिटे

4.    1 तास = 3600 सेकंद     

5.    0.01 तास = 36 सेकंद   

6.    1 मिनिट = 60 सेकंद     

7.    0.1 मिनिट = 6 सेकंद 

8.    1 दिवस = 24 तास

              = 24 × 60

              =1440 मिनिटे  

              = 1440 × 60

              = 86400 सेकंद

 

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर -

1.    घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते. 

2.    दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो. 

3.    दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.

4.    तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात. 

 दशमान परिमाणे -

विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.

1.    100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल 

2.    10 क्विंटल = 1 टन  
   

3.    1 टन = 1000 कि.ग्रॅ. 

4.    1000 घनसेंमी = 1 लिटर  

5.    1 क्युसेक=1000घन लि.   

6.    12 वस्तू = 1 डझन  
   

7.    12 डझन = 1 ग्रोस   
     

8.    24 कागद = 1 दस्ता 

9.    20 दस्ते = 1 रीम   
 

10.  1 रीम = 480 कागद. 

विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध -

अ) अंतर –

1.    1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.

2.    1 से.मी. = 0.394 इंच 

3.    1 फुट = 30.5 सेमी.  

4.    1 मी = 3.25 फुट

5.    1 यार्ड = 0.194 मी.
           

6.    1 मी = 1.09 यार्ड

ब) क्षेत्रफळ -    

1.    1 स्व्के. इंच = 6.45 सेमी 2

2.    1 सेमी 2 = 0.155 इंच 2

3.    1 एकर = 0.405 हेक्टर

4.    1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे

5.    1 स्व्के. मैल = 2.59 कि.मी. 2

6.    1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल 

7.    1 कि.मी. 2 = 0.386 स्व्के.मैल

8.    1 गॅलन = 4.55 लिटर 

क) शक्ती -    

1.    1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट

2.    1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी. 

3.    ड) घनफळ -    1(इंच) 3 = 16.4 सेमी. 2

4.    1 (सेमी) 3 = 0.610 (इंच) 3 

5.    क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 मी. 3

6.    1 मी 3 = 35 फुट 3 

7.    1 यार्ड 3 = 0.765 मी. 3 

इ) वजन -    

1.    1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0

2.    1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम

3.    1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb) 

वय व संख्या -

1.    दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2

2.    लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2

3.    वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो. 

दिनदर्शिका –

·         एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस 

·         महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात. 

·         टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात. 

नाणी -

1.    एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज 

2.    एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1 

पदावली -

·         पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)

·         किंवा BODMAS हा क्रम ठेवावा.

 

 

संख्या व संख्याचे प्रकार

·         N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या 

·         क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते. 

·         उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14 

·         संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी 
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2 

·         उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13 

·         1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10 

·         N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

·         उदा.

·         1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810

·         (31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)

नमूना पहिला –

उदा.

चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?

1.    32

2.    30

3.    34

4.    28

उत्तर : 32

क्लृप्ती :-

सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.

32, 34, [35], 36, 38

नियम –

क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2

वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5,  1+10/2 = 5.5  

यावरून (10.5-5.5) = 5

 

नमूना दूसरा –

उदा.

क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?

1.    5050

2.    10050

3.    10100

4.    2525

उत्तर : 5050

क्लृप्ती :

क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा

= 101×100/2 = 101×50 = 5050  

 

नमूना तिसरा-

उदा.

35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?

1.    3

2.    5

3.    0

4.    7

उत्तर : 0

क्लृप्ती :  

सरासरी = 39 [मधली संख्या  (35 36 39 45 4*)]

एकूण = 39×5 = 195  

एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25    

0+5 = 5     

:: * = 0

 

नमूना चौथा –

उदा.

क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?

1.    44

2.    43

3.    42

4.    40

उत्तर : 42

क्लृप्ती :

एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42

 

नमूना पाचवा –

उदा.

एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?

1.    74 कि.ग्रॅ.

2.    71 कि.ग्रॅ.

3.    75 कि.ग्रॅ.

4.    100 कि.ग्रॅ.

उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.

नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी

क्लृप्ती :

सरसरीतील फरक = 24 -22   2×25.    

नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74

 

नमूना सहावा –

उदा.

एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?

1.    60

2.    45

3.    40

4.    50

उत्तर : 60

स्पष्टीकरण :-

15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे

उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.

उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी

:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी

 

नमूना सातवा –

उदा.

एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?

1.    285

2.    2375

3.    1800

4.    1950

उत्तर : 1800

क्लृप्ती : -

(155 – सरसरीतील फरक)×15

= (155-35)×15

= 120×15

= 1800

 

नमूना आठवा –

उदा.

ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?

1.    300 कि.मी.

2.    150 कि.मी.

3.    450 कि.मी.

4.    यापैकी नाही

उत्तर : 150 कि.मी.

स्पष्टीकरण :-

एकूण अंतर x मानू

∷x/50-x/60=30/60    

∶:(6x-5x)/300=1/2     

x= 300/2

=150 कि.मी.

 

 प्रकार पहिला :-

नमूना पहिला –

उदा.

अश्विन हा राणीपेक्षा 5 वर्षांनी मोठा आहे. 5 वर्षापूर्वी अश्विनचे वय 11 वर्षे होते ; तर 5 वर्षांनंतर अश्विन व राणी यांच्या वयातील फरक किती?

1.    15 वर्षे

2.    10 वर्षे

3.    5 वर्षे

4.    20 वर्षे

उत्तर : 5 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

वय वाढले तरी दोघांच्या वयांतील फरक तेवढाच राहतो.

अश्विन राणीपेक्षा 5 वर्षांनी मोठा म्हणजे फरक 5 वर्षेच राहील.

 

नमूना दूसरा –

उदा.

जान्हवी तिच्या आईपेक्षा 27 वर्षांनी लहान आहे. त्या दोघांच्या वयांची बेरीज 49 वर्षे असल्यास जान्हवीच्या आईचे वय किती ?

1.    11 वर्षे

2.    36 वर्षे

3.    34 वर्षे

4.    38 वर्षे

उत्तर : 38 वर्षे

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज+दोन संख्यातील फरक)÷2

(49+27) ÷ 2 = 38

लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2 (49-27) ÷ 2 = 11

 

नमूना तिसरा –

उदा.

रामचे वय हरीच्या वयाच्या तिप्पट आहे. दोघांच्या वयांतील फरक 16 वर्षे असल्यास; त्या दोघांच्या वयांची बेरीज किती?

1.    24 वर्षे

2.    32 वर्षे

3.    40 वर्षे

4.    48 वर्षे

उत्तर : 32 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

राम व हरीच्या वयांचे प्रमाण = 3x : x    

दोघांच्या वयांची बेरीज = 3x + x = 4x

फरक = 3 x – x = 2x =16,   

:: x=8

:: 4x = 4×8 = 32

 

नमूना चौथा –

उदा.

अशोकचे वय सुरेशच्या वयाच्या दुपटीपेक्षा 5 वर्षांनी कमी आहे व अजयच्या वयाच्या 1/3 पेक्षा 8 वर्षांनी जास्त आहे. सुरेशचे वय 10 वर्षे असल्यास अजयचे वय किती?

1.    21 वर्षे

2.    23 वर्षे

3.    15 वर्षे

4.    28 वर्षे

उत्तर : 21 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

सुरेशचे वय = 10 वर्षे, म्हणून अशोकचे वय = 2x-5= 20 -5 = 15 वर्षे,

:: अशोकचे वय = 15 वर्षे यानुसार अजयचे वय x मानल्यास     

x/3+8=15 म्हणून x/3=7, :

: x=21

 प्रकार दूसरा :-

नमूना पहिला –

उदा.

सीता व गीता यांच्या आजच्या वयांचे गुणोत्तर 6:5 आहे. दोन वर्षापूर्वी त्यांच्या वयाचे गुणोत्तर 5:4 होते, तर सीताचे आजचे वय किती?

1.    10 वर्षे

2.    12 वर्षे

3.    15 वर्षे

4.    18 वर्षे

उत्तर : 12 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

    सीता     :    गीता

आजचे वय      6x     :     5x

दोन वर्षापूर्वीचे (6x-2)2    :     (5x-2)

 

6x-2/5x-2 = 5/4

:: 4(6x-2) =5(5x-2)    24x-8=25x-10     :: x=2

:: सीताचे आजचे वय = 6x = 6×2=12 वर्षे

 

नमूना दूसरा –

उदा.

मुलगी व आई यांच्या 5 वर्षापूर्वीच्या वयांचे गुणोत्तर 1:5 होते, परंतु 5 वर्षांनंतर त्यांच्या वयांचे गुणोत्तर 2:5 होईल, तर मुलीचे आजचे वय किती?

1.    6 वर्षे

2.    10 वर्षे

3.    35 वर्षे

4.    11 वर्षे

उत्तर : 11 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

                         मुलगी    :    आई

5 वर्षांपूर्वी                 1      :     5            

आजचे वयांचे                         

गुणोत्तर               (x+5)    :    (5x+5)            

5 वर्षांनंतर                         

वयांचे गुणोत्तर        (x+10)   :    (5x+10)
        

x+10/5x+10 = 2/5

:: 5(x+10) = 2(5x+10)

5x=50=10x+20

5x=30

:: x=6

मुलीचे आजचे वय = x+5     

:: 6+5 = 11 वर्षे

 

नमूना तिसरा –

उदा.

मुलगा, आई, वडील यांची आजची वये अनुक्रमे 10 वर्षे, 30 वर्षे व 40 वर्षे आहेत, तर किती वर्षांनी त्यांची वये 3:7:9 या प्रमाणात होतील ?

1.    10

2.    6

3.    3

4.    5

उत्तर : 5

स्पष्टीकरण:

3+7+9=19 भाग,  उदाहरणाप्रमाणे (10+30+49) = 80     

80+3x/19 =19×5 = 95  

85 – 80 = 15,

3x=15     

:: x=5

 

नमूना पहिला –

उदा.

एक पाण्याची टाकी पहिल्या नळाने 6 तासात भरते; तर दुसर्‍या नळाने ती टाकी भरण्यास 12 तास लागतात. जर दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केल्यास, ती रिकामी टाकी भरण्यास किती वेळ लागेल?

1.    3 तास

2.    2 तास 30 मि.

3.    4 तास

4.    4 तास 30 मि.

उत्तर : 4 तास

स्पष्टीकरण :-

टाकी पूर्ण भरण्यास

1 ल्या नळाला 6 तास लागतात.     

:: पहिल्या नळाने 1 तासात टाकी 1/6 भरते.

2 र्‍या नळाला 12 तास लागतात.     

:: दुसर्‍या नळाने 1 तासात टाकी 1/12 भरते.

दोन्ही नळांनी एका तासात 1/6+1/12=3/12 टाकी भरते.

:: पूर्ण टाकी भरण्यास 12/3 = 4  तास लागतील

:: टाकी भरण्यास लागणारे एकूण तास = 4 तास

 नमूना दूसरा –

उदा.

एक पाण्याची टाकी एका नळाने 6 तासात भरते. तर दुसर्‍या नळाने 4 तासात रिकामी होते. जर दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केले तर भरलेली टाकी किती तासांत रिकामी होईल?

1.    6

2.    8

3.    12

4.    10

उत्तर : 12

स्पष्टीकरण :-

पहिला नळ 6 तासात टाकी भरतो. प्रमाणे 1 तासात 1/6 टाकी भरते. दूसरा नळ 4 तासात रिकामी करतो म्हणजेच

1 तासात ¼ टाकी रिकामी होते.

दोन्ही नळ चालू केल्यास 1 तासात टाकी रिकामी =1/4-1/6=3/12-2/12=1/12 भाग रिकामा होईल.

:: दोन्ही नळ चालू केल्यास पूर्ण टाकी रिकामी होण्यास 12 तास लागतील.

 

 

 नमूना पहिला –

उदा.

10 मजूर रोज 6 तास काम करून एक काम 12 दिवसांत पूर्ण करतात, तेच काम 20 मजूर रोज 9 तास काम करून किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    6

2.    8

3.    10

4.    4

उत्तर : 4

क्लृप्ती :-

माहिती भाग = प्रश्न     

10×6×12=20×9×x  

यानुसार X = 10×6×12/20×9

= 4

 

उदा.

‘अ’ एक काम 20 दिवसांत पूर्ण करतो. तेच काम पूर्ण करण्यास ‘ब’ ला 30 दिवस लागतात, तर दोघे मिळून ते काम किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    8

2.    12

3.    15

4.    10

उत्तर : 12

स्पष्टीकरण :-

‘अ’ ला एक काम करण्यास 20 दिवस लागतात आणि ‘ब’ ला तेच काम करण्यास 30 दिवस लागतात. त्यानुसार ‘अ’ एक दिवसात 1/20 x काम करतो आणि ‘ब’ एक दिवसात 1/3 x काम करतो

:: दोघे मिळून एक दिवसात 1/20+1/30=3/60+2/60=5/60 भाग काम करतात

दोघे मिळून ते कामा X= 60/5=12 दिवसात पूर्ण करतील.

 

 नमूना तिसरा –

उदा.

‘अ’ हा ‘ब’ च्या दुप्पट वेगाने काम करतो. तर ‘क’ हा ‘अ’ आणि ‘ब’ या दोघांच्या एकत्रित कामाइतके काम करतो. ‘अ’ एकटा 12 दिवसांत एक काम संपवितो तर ‘अ’, ‘ब’, ‘क’ मिळून तेच काम किती दिवसात पूर्ण करतील?

1.    4

2.    12

3.    8

4.    6

उत्तर : 4

स्पष्टीकरण :-

‘अ’ ला एक काम संपविण्यास 12 दिवस लागतात,

जर ‘अ’, ‘ब’ च्या दुप्पट काम करतो, तर ‘ब’ ला ते काम करण्यास 24 दिवस लागतील.

:: ‘अ’ व ‘ब’ हे दोघे एक दिवसात 1/12+1/24=3/24 काम करतील

:: ‘क’ हा ‘अ’ आणि ‘ब’ यांच्या एवढे काम करतो, म्हणजेच 3/24 काम करतो

‘अ’, ‘ब’, ‘क’ मिळून एक दिवसात 3/24+3/24=6/24 भाग काम करतात.

:: तिघे मिळून ते काम 24/6=4 दिवसांत पूर्ण करतील.

 

 नमूना चौथा –

उदा.

एक काम 15 मुले 20 दिवसात पूर्ण करतात. जर 3 मुले 2 पुरुषांएवढे काम करीत असल्यास, तेच काम 20 पुरुष किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    15

2.    8

3.    12

4.    10

उत्तर : 10

स्पष्टीकरण :-

3 मुले = 2 पुरुष म्हणजेच 15 मुले = 10 पुरुष,

यावरून 10 पुरुष ते काम 20 दिवसांत करतात.

:: 20 पुरुष ते काम 10 दिवसांत करतील.

 

 नमूना पाचवा –

उदा.

6 पुरुष किंवा 8 मुले एक काम 24 दिवसांत पूर्ण करतात, तर तेच काम 7 पुरुष आणि 12 मुले एकत्रितरीत्या किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    12

2.    9

3.    10

4.    16

उत्तर : 9

स्पष्टीकरण :-

6 पुरुष किंवा 8 मुले म्हणजे 3:4 प्रमाण म्हणजेच 4 मुलाएवढे 3 पुरुष काम करतात.

यानुसार 12 मुलाएवढे 9 पुरुष काम करतील आणि 6 पुरुष 24 दिवसांत काम करतील

:: 7+9=16 याप्रमाणे  6×24/16 = 9, म्हणजेच 16 पुरुष 9 दिवसांत काम पूर्ण करतील.

 

नमूना पहिला –

उदा.
X व Y समचलनात आहेत. जिव्हा समचलनात X=40 तेव्हा Y = 24. जर X =60 असेल. तर Y = किती ?

1.    16

2.    36

3.    48

4.    32

उत्तर : 36

 

स्पष्टीकरण :-

X व Y समचलनात असतील, तर X/Y ची किंमत स्थिर असते.

∷X/Y=40/24=60/Y  ∶:40/24=5/3=5×12/3×12= 60/36 ∶: जेव्हा X=60 तेव्हा Y=36  येईल.   

 

 

 नमूना

उदा.
X व y व्यस्त चलनात आहेत. जेव्हा x = 24 तेव्हा y = 12. जर x = 6, तेव्हा y = किती?

1.    48

2.    36

3.    3

4.    12

उत्तर : 48

 

स्पष्टीकरण :-

X व्यस्त चलनात y असेल, तर x × y ची किंमत स्थिर असते.

:: 24×12=6×y

:: 24×12/6 = 48