गणितातील महत्वाची सूत्रे

सरासरी :-

1) N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या

 

2) क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.

उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14

 

संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी

 

n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2

 

उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13

 

2) 1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10

 

3) N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

 

उदा. 1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810

(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20) 

 

 सरळव्याज :-

·         सरळव्याज (I) = P×R×N/100

·         मुद्दल (P) = I×100/R×N

·         व्याजदर (R) = I×100/P×N

·         मुदत वर्षे (N) = I×100/P×R

·         चक्रवाढव्याज  रास (A)= P×(1+R/100)n, n= मुदत वर्षे  

 नफा तोटा :-

·         नफा = विक्री – खरेदी    
 

·         विक्री = खरेदी + नफा     

·         खरेदी = विक्री + तोटा 

·         तोटा = खरेदी – विक्री    
 

·         विक्री = खरेदी – तोटा   
 

·         खरेदी = विक्री – नफा 

·         शेकडा नफा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी 

·         शेकडा तोटा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी 

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100+ शेकडा नफा)/100 

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100 – शेकडा तोटा) / 100 

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 + शेकडा नफा)

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 – शेकडा नफा)  

 आयात, चौरस, त्रिकोण, कोन :-

·         आयत -
आयताची परिमिती = 2×(लांबी+रुंदी)   
    

·         आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी×रुंदी 

·         आयताची लांबी = (परिमिती ÷ 2) – रुंदी    
 

·         आयताची रुंदी =(परिमिती÷2) – लांबी 

·         आयताची रुंदी दुप्पट व लांबी निमपट केल्यास क्षेत्रफळ तेवढेच राहते.

·         आयताची लांबी व रुंदी दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते. 

·         चौरस -

·         चौरसाची परिमिती= 4×बाजूची लांबी     

·         चौरसाचे क्षेत्रफळ=(बाजू)2 किंवा (कर्ण)2/2 

·         चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते. 

·         दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या बाजूंच्या मापांच्या वर्गाच्या पटीत असते.

   समभुज चौकोण -

·         समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ     

·         = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार/2 

·         समलंब चौकोण -

·         समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज×लंबांतर/2 

·         समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ×2/समांतर बाजूंची बेरीज 

·         समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ×2/लबांतर 

·         त्रिकोण -

·         त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची/2

·         काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ    
 

·          

·         = काटकोन करणार्‍या बाजूंचा गुणाकार/2

·          

·         पायथागोरस सिद्धांत -

·         काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (पाया)2+(उंची)2 

 प्रमाण भागिदारी :-

·         नफयांचे गुणोत्तर = भंडावलांचे गुणोत्तर × मुदतीचे गुणोत्तर 

·         भंडावलांचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ मुदतीचे गुणोत्तर 

·         मुदतीचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ भंडावलांचे गुणोत्तर 

 गाडीचा वेग – वेळ – अंतर :-

A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी/ताशी वेग × 18/5 

B) पूल ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी / ताशी वेग × 18/5 

C) गाडीचा ताशी वेग  = कापवयाचे एकूण एकूण अंतर / लागणारा वेळ  × 18/5

 

D) गाडीची लांबी  = ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

 

E) गाडीची लांबी + पूलाची लांबी = ताशी वेग × पूल ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

 

F) गाडीची ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना 18/5 ने गुण व अंतर काढताना 5/18 ने गुणा.

1 तास = 3600 सेकंद / 1 कि.मी. = 1000 मीटर  = 3600/1000 = 18/5

 

G) पाण्याचा प्रवाहाचा ताशी वेग = (नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग – प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने ताशी वेग) ÷ 2

 

H) गाडीने कापावायचे एकूण अंतर – गाडीची लांबी = बोगध्याची लांबी

 

I) भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ

 

= वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा वेग / वेगातील फरक

 

लागणारा वेळ = एकूण अंतर / दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज

वर्तुळ -

1.    त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात. 

2.    वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात. 

3.    वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो. 

4.    जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

5.    व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय. 

6.    वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो. 

7.    वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो. 

8.    वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D 

9.    अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7 

10.  अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36 

11.  वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

12.  वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22   

13.  वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30 

14.  अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2 

15.  अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36 

16.  दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर. 

17.  दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते. 

घनफळ -

1.    इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

2.    काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची 

3.    गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)

4.    गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2     

5.    घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3

6.    घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

7.    घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते. 

8.    घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2 

9.    वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h 

10.  वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2 

11.  वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h 

इतर भौमितिक सूत्रे -

1.    समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची 

2.    समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार 

3.    सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

4.    वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

5.    वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr

6.    घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

7.    दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh 

8.    अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

9.    अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

10.  त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

11.  शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h  

12.  समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

13.  दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h) 

14.  अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2 

15.  (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती)  

16.  वक्रपृष्ठ = πrl

17.  शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी 

बहुभुजाकृती -

1.    n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.

2.    सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.

3.    बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते. 

4.    n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते. 

5.    सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप 

6.    बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2 

उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9

 

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर -

1.    1 तास = 60 मिनिटे     

2.    0.1 तास = 6 मिनिटे   

3.    0.01 तास = 0.6 मिनिटे

4.    1 तास = 3600 सेकंद     

5.    0.01 तास = 36 सेकंद   

6.    1 मिनिट = 60 सेकंद     

7.    0.1 मिनिट = 6 सेकंद 

8.    1 दिवस = 24 तास

              = 24 × 60

              =1440 मिनिटे  

              = 1440 × 60

              = 86400 सेकंद

 

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर -

1.    घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते. 

2.    दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो. 

3.    दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.

4.    तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात. 

 दशमान परिमाणे -

विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.

1.    100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल 

2.    10 क्विंटल = 1 टन  
   

3.    1 टन = 1000 कि.ग्रॅ. 

4.    1000 घनसेंमी = 1 लिटर  

5.    1 क्युसेक=1000घन लि.   

6.    12 वस्तू = 1 डझन  
   

7.    12 डझन = 1 ग्रोस   
     

8.    24 कागद = 1 दस्ता 

9.    20 दस्ते = 1 रीम   
 

10.  1 रीम = 480 कागद. 

विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध -

अ) अंतर –

1.    1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.

2.    1 से.मी. = 0.394 इंच 

3.    1 फुट = 30.5 सेमी.  

4.    1 मी = 3.25 फुट

5.    1 यार्ड = 0.194 मी.
           

6.    1 मी = 1.09 यार्ड

ब) क्षेत्रफळ -    

1.    1 स्व्के. इंच = 6.45 सेमी 2

2.    1 सेमी 2 = 0.155 इंच 2

3.    1 एकर = 0.405 हेक्टर

4.    1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे

5.    1 स्व्के. मैल = 2.59 कि.मी. 2

6.    1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल 

7.    1 कि.मी. 2 = 0.386 स्व्के.मैल

8.    1 गॅलन = 4.55 लिटर 

क) शक्ती -    

1.    1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट

2.    1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी. 

3.    ड) घनफळ -    1(इंच) 3 = 16.4 सेमी. 2

4.    1 (सेमी) 3 = 0.610 (इंच) 3 

5.    क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 मी. 3

6.    1 मी 3 = 35 फुट 3 

7.    1 यार्ड 3 = 0.765 मी. 3 

इ) वजन -    

1.    1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0

2.    1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम

3.    1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb) 

वय व संख्या -

1.    दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2

2.    लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2

3.    वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो. 

दिनदर्शिका –

·         एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस 

·         महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात. 

·         टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात. 

नाणी -

1.    एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज 

2.    एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1 

पदावली -

·         पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)

·         किंवा BODMAS हा क्रम ठेवावा.

गणितातील प्रक्रिया करण्याचा क्रम

नियम :-

पदावली सोडविताना कंस असेल तर उदाहरण सोडविताना अनुक्रमे कंस, चे

÷, ×, +, -, हा क्रम ठेवावा. (कं.चे.भा.गु.बे.व)

नमूना पहिला –

उदा.

12+52÷13+9×2 =?

1.    28

2.    26

3.    34

4.    52

उत्तर : 34

नमूना दूसरा –

उदा.

30[ ]25[ ]5[ ]150 या उदाहरणातील चौकोनांत पर्यायातील कोणत्या चिन्हांचा गट अनुक्रमे वापरल्यास हे विधान सत्य ठरेल?

1.    ÷, ×, =

2.    ×, ÷, =

3.    ×, -, =

4.    +, ×, =

उत्तर : ×, ÷, =

स्पष्टीकरण :-

·         पर्याय कट पद्धतीचा वापर करून चिन्हांचा गट वापरा.

·         वरील उदाहरणात दुसर्‍या पर्यायातील चिन्ह गट वापरल्यास पदावली सत्य ठरते.

30×25÷5

= 150

30×5

= 150

वय (वयवारी)

प्रकार पहिला :-

नमूना पहिला –

उदा.

अश्विन हा राणीपेक्षा 5 वर्षांनी मोठा आहे. 5 वर्षापूर्वी अश्विनचे वय 11 वर्षे होते ; तर 5 वर्षांनंतर अश्विन व राणी यांच्या वयातील फरक किती?

1.    15 वर्षे

2.    10 वर्षे

3.    5 वर्षे

4.    20 वर्षे

उत्तर : 5 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

वय वाढले तरी दोघांच्या वयांतील फरक तेवढाच राहतो.

अश्विन राणीपेक्षा 5 वर्षांनी मोठा म्हणजे फरक 5 वर्षेच राहील.

 

नमूना दूसरा –

उदा.

जान्हवी तिच्या आईपेक्षा 27 वर्षांनी लहान आहे. त्या दोघांच्या वयांची बेरीज 49 वर्षे असल्यास जान्हवीच्या आईचे वय किती ?

1.    11 वर्षे

2.    36 वर्षे

3.    34 वर्षे

4.    38 वर्षे

उत्तर : 38 वर्षे

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज+दोन संख्यातील फरक)÷2

(49+27) ÷ 2 = 38

लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2 (49-27) ÷ 2 = 11

 

नमूना तिसरा –

उदा.

रामचे वय हरीच्या वयाच्या तिप्पट आहे. दोघांच्या वयांतील फरक 16 वर्षे असल्यास; त्या दोघांच्या वयांची बेरीज किती?

1.    24 वर्षे

2.    32 वर्षे

3.    40 वर्षे

4.    48 वर्षे

उत्तर : 32 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

राम व हरीच्या वयांचे प्रमाण = 3x : x    

दोघांच्या वयांची बेरीज = 3x + x = 4x

फरक = 3 x – x = 2x =16,   

:: x=8

:: 4x = 4×8 = 32

 

नमूना चौथा –

उदा.

अशोकचे वय सुरेशच्या वयाच्या दुपटीपेक्षा 5 वर्षांनी कमी आहे व अजयच्या वयाच्या 1/3 पेक्षा 8 वर्षांनी जास्त आहे. सुरेशचे वय 10 वर्षे असल्यास अजयचे वय किती?

1.    21 वर्षे

2.    23 वर्षे

3.    15 वर्षे

4.    28 वर्षे

उत्तर : 21 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

सुरेशचे वय = 10 वर्षे, म्हणून अशोकचे वय = 2x-5= 20 -5 = 15 वर्षे,

:: अशोकचे वय = 15 वर्षे यानुसार अजयचे वय x मानल्यास     

x/3+8=15 म्हणून x/3=7, :

: x=21

 प्रकार दूसरा :-

नमूना पहिला –

उदा.

सीता व गीता यांच्या आजच्या वयांचे गुणोत्तर 6:5 आहे. दोन वर्षापूर्वी त्यांच्या वयाचे गुणोत्तर 5:4 होते, तर सीताचे आजचे वय किती?

1.    10 वर्षे

2.    12 वर्षे

3.    15 वर्षे

4.    18 वर्षे

उत्तर : 12 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

    सीता     :    गीता

आजचे वय      6x     :     5x

दोन वर्षापूर्वीचे (6x-2)2    :     (5x-2)

 

6x-2/5x-2 = 5/4

:: 4(6x-2) =5(5x-2)    24x-8=25x-10     :: x=2

:: सीताचे आजचे वय = 6x = 6×2=12 वर्षे

 

नमूना दूसरा –

उदा.

मुलगी व आई यांच्या 5 वर्षापूर्वीच्या वयांचे गुणोत्तर 1:5 होते, परंतु 5 वर्षांनंतर त्यांच्या वयांचे गुणोत्तर 2:5 होईल, तर मुलीचे आजचे वय किती?

1.    6 वर्षे

2.    10 वर्षे

3.    35 वर्षे

4.    11 वर्षे

उत्तर : 11 वर्षे

स्पष्टीकरण :-

                         मुलगी    :    आई

5 वर्षांपूर्वी                 1      :     5            

आजचे वयांचे                         

गुणोत्तर               (x+5)    :    (5x+5)            

5 वर्षांनंतर                         

वयांचे गुणोत्तर        (x+10)   :    (5x+10)
        

x+10/5x+10 = 2/5

:: 5(x+10) = 2(5x+10)

5x=50=10x+20

5x=30

:: x=6

मुलीचे आजचे वय = x+5     

:: 6+5 = 11 वर्षे

 

नमूना तिसरा –

उदा.

मुलगा, आई, वडील यांची आजची वये अनुक्रमे 10 वर्षे, 30 वर्षे व 40 वर्षे आहेत, तर किती वर्षांनी त्यांची वये 3:7:9 या प्रमाणात होतील ?

1.    10

2.    6

3.    3

4.    5

उत्तर : 5

स्पष्टीकरण:

3+7+9=19 भाग,  उदाहरणाप्रमाणे (10+30+49) = 80     

80+3x/19 =19×5 = 95  

85 – 80 = 15,

3x=15     

:: x=5

प्रमाण भागीदारी

नमूना पहिला –

उदा.

संपतरावांनी एक गाय, एक म्हैस व एक बैल 9500 रुपयांना खरेदी केले. त्यांच्या किंमतीचे प्रमाण अनुक्रमे 4:6:9 आहे, तर म्हैशीची किंमत किती?

1.    3500

2.    3000

3.    4000

4.    4500

उत्तर : 3000

स्पष्टीकरण :

प्रमाण = 4:6:9   4+6+9=19 भाग = 9500

:: 1 भाग = 9500/19 = 500

:: 6 भाग = 3000

 नमूना दूसरा –

उदा.

श्रीपत व महिपत यांच्या भांडवलाचे गुणोत्तर 3:2 आहे व मुदतीचे गुणोत्तर 2:3 आहे, तर त्यांच्या नफ्याचे गुणोत्तर किती?

1.    9:4

2.    4:9

3.    4:6

4.    1:1

उत्तर : 1:1

क्लृप्ती :

भांडवलांचे गुणोत्तर × मुदतींचे गुणोत्तर = नाफयांचे गुणोत्तर

3:2×2:3= 3/2×2/3=1/1= 1:1

नाफयांचे गुणोत्तर ÷ भांडवलांचे गुणोत्तर = मुदतींचे गुणोत्तर

नाफयांचे गुणोत्तर ÷ मुतींचे गुणोत्तर = भांडवलांचे गुणोत्तर

 नमूना तिसरा –

उदा.

भिकोबाने 4000 रु. 5 महिन्यांसाठी व तुकारामाने 3000 रु. 4 महिन्यांसाठी एका व्यवसायात गुंतविले. त्यांना एकूण नफा 1600 रु. झाला, तर भिकोबाचा नफ्यातील वाटा किती रुपये?

1.    600 रु.

2.    1200 रु.

3.    800 रु.

4.    1000 रु.

उत्तर : 1000 रु.

स्पष्टीकरण :

भंडावलांचेगुणोत्तर × मुदतीचे गुणोत्तर = नाफयांचे गुणोत्तर

4000:3000 =     4/3×5/4=5/3= 5:3   

8 भाग = 1600 :: 1 भाग = 200 त्यानुसार 5 भाग = 5×200 = 1000

 नमूना चौथा –

उदा.

गुरुनाथने 12000 रु. भांडवल गुंतवून एक धंदा सुरू केला. 4 महिन्यांतर दिनानाथाने काही रक्कम गुंतवून भागीदारी स्वीकारली. वर्षाअखेर त्या धंधात झालेल्या 2200 रु. नफ्यापैकी दिनानाथला 1000 रु. मिळाले: तर दिनानाथाने किती रक्कम गुंतविली होती?

1.    12000 रु.

2.    18000 रु.

3.    15000 रु.

4.    10000 रु.

उत्तर : 15000 रु.

स्पष्टीकरण :

              गुरुनाथ         दिनानाथ         गुणोत्तर

भांडवल     12000 :        X               12:X

मुदत        12      :        8               3:2

नफा        1200   :        1000          6:5   

सूत्र :-

नाफयांचे गुणोत्तर ÷ मुदतींचे गुणोत्तर = भांडवलाचे गुणोत्तर

:: 6/5÷3/2=6/5×2/3=12/15

गुरुनाथचे भांडवल = 12000 रु. = 12 भाग

:: दिनानाथचे भांडवल = 15 भाग = 15000 रु.

पाण्याची टाकी व नळ वरील उदाहरणे

नमूना पहिला –

उदा.

एक पाण्याची टाकी पहिल्या नळाने 6 तासात भरते; तर दुसर्‍या नळाने ती टाकी भरण्यास 12 तास लागतात. जर दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केल्यास, ती रिकामी टाकी भरण्यास किती वेळ लागेल?

1.    3 तास

2.    2 तास 30 मि.

3.    4 तास

4.    4 तास 30 मि.

उत्तर : 4 तास

स्पष्टीकरण :-

टाकी पूर्ण भरण्यास

1 ल्या नळाला 6 तास लागतात.     

:: पहिल्या नळाने 1 तासात टाकी 1/6 भरते.

2 र्‍या नळाला 12 तास लागतात.     

:: दुसर्‍या नळाने 1 तासात टाकी 1/12 भरते.

दोन्ही नळांनी एका तासात 1/6+1/12=3/12 टाकी भरते.

:: पूर्ण टाकी भरण्यास 12/3 = 4  तास लागतील

:: टाकी भरण्यास लागणारे एकूण तास = 4 तास

 नमूना दूसरा –

उदा.

एक पाण्याची टाकी एका नळाने 6 तासात भरते. तर दुसर्‍या नळाने 4 तासात रिकामी होते. जर दोन्ही नळ एकाच वेळी चालू केले तर भरलेली टाकी किती तासांत रिकामी होईल?

1.    6

2.    8

3.    12

4.    10

उत्तर : 12

स्पष्टीकरण :-

पहिला नळ 6 तासात टाकी भरतो. प्रमाणे 1 तासात 1/6 टाकी भरते. दूसरा नळ 4 तासात रिकामी करतो म्हणजेच

1 तासात ¼ टाकी रिकामी होते.

दोन्ही नळ चालू केल्यास 1 तासात टाकी रिकामी =1/4-1/6=3/12-2/12=1/12 भाग रिकामा होईल.

:: दोन्ही नळ चालू केल्यास पूर्ण टाकी रिकामी होण्यास 12 तास लागतील.

वेग, वेळ आणि अंतर

नमूना पहिला –

उदा.

300 मीटर लांबीच्या ताशी 72 कि.मी. वेगाने जाणार्‍या आगगाडीच्या एक विजेचा खांब ओलांडण्यास किती वेळ लागेल?

1.    45 से.

2.    15 से.

3.    25 से.

4.    35 से.

उत्तर : 15 से.

क्लृप्ती :-

एका तासाचे सेकंद = 3600 व 1 कि.मी. = 1000 मी. 3600/1000=18/5, या आधारे वेग व वेळ काढताना 18/5 ने गुणा व अंतर काढताना 5/18 ने गुणा. खांब ओलांडण्यास लागणारा वेळ = गाडीची लांबी/ताशी वेग × 18/5 ∶:  300/72×18/5=15 सेकंद

 नमूना दूसरा –

उदा.

ताशी 40 कि.मी. वेगाने जाणार्‍या 400 मीटर लांबीच्या मालगाडीस 400 मीटर लांबीचा पूल ओलांडण्यास किती वेळ लागेल?

1.    1मि. 12से.

2.    1मि. 25से.

3.    36से.

4.    1मि. 10से.

उत्तर : 1मि. 12से.

क्लृप्ती :-

एकूण कापावयाचे अंतर = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी = 400+400 =800 मि.

पूल ओलांडण्यास लागणारा वेळ = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी/ताशी वेग × 18/5

 नमूना तिसरा –

उदा.

ताशी 54 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी एक विजेचा खांब 18 सेंकदात ओलांडते, तर त्या आगगाडीची लांबी किती?

1.    540मी.

2.    162मी.

3.    270मी.

4.    280मी.

उत्तर : 270मी.

सूत्र :-

गाडीची लांबी = वेग × वेळ × 5/18 = 54×18×5/18 = 270 मी.

 नमूना चौथा –

उदा.

800 मी. अंतर 72 सेकंदात ओलांडांनार्‍य गाडीचा ताशी वेग किती कि.मी. ?

1.    54 कि.मी.

2.    40 कि.मी.  

3.    50 कि.मी.

4.    60 कि.मी.

उत्तर : 40 कि.मी.  

क्लृप्ती :-

वेग = अंतर/वेळ ×18/5 = 800/72 × 18/5 = 40     

(वेग काढताना 18/5 ने गुणणे)

 नमूना पाचवा –

उदा.

मुंबईला नागपूरला जाणार्‍या दोन गाड्यांपैकी ताशी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी पहिली गाडी सकाळी 7.30 वाजता सुटली. त्यानंतर त्याच दिवशी त्याच मार्गाने दुसरी गाडी ताशी 75 कि.मी. वेगाने सकाळी 8.30 वाजता सुटली, तर त्या एकमेकीस किती वाजता भेटतील?

1.    दु.12 वा.

2.    12.30 वा.

3.    1.30 वा.

4.    11.30 वा.

उत्तर : 12.30 वा.

क्लृप्ती :-

भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ

= वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा/वेगातील फरक = 1 तास×60/75-60 = 60/15 = 4 तास

 नमूना सहावा –

उदा.

मुंबई ते गोवा हे 540 कि.मी. अंतर. मुंबईहून सकाळी 8.30 वा. सुटलेल्या ताशी 60 कि.मी. वेगाने जाणार्‍या गाडीची त्याचवेळी गोव्याहून सटलेल्या ताशी 75 कि.मी. वेग असलेल्या गाडीशी किती वाजता भेट होईल?

1.    दु.12.30वा.

2.    दु.12वा.

3.    दु.1.30वा.

4.    दु.1वा.

उत्तर : दु.12.30वा.

क्लृप्ती :-

लागणारा वेळ = एकूण अंतर/दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज

 नमूना सातवा –

उदा.

ताशी 60 कि.मी. सरासरी वेगाने जाणारी आगगाडी, जर ताशी 75 कि.मी. वेगाने गेल्यास निर्धारित मुक्कामावर 48 मिनिटे लवकर पोहचली, तर त्या गाडीने एकूण किती प्रवास केला?

1.    300 कि.मी.

2.    240 कि.मी.

3.    210 कि.मी.

4.    270 कि.मी.

उत्तर : 240 कि.मी.

स्पष्टीकरण :-

60 व 75 चा लसावी = 300

300 ÷ 60 = 5 तास     :: 60 मिनिटे फरक = 60×5=300 कि.मी.

300 ÷ 75 = 4 तास     :: 48 मिनिटे फरक = 4×60 = 240 कि.मी.

काळ, काम आणि वेग

नमूना पहिला –

उदा.

10 मजूर रोज 6 तास काम करून एक काम 12 दिवसांत पूर्ण करतात, तेच काम 20 मजूर रोज 9 तास काम करून किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    6

2.    8

3.    10

4.    4

उत्तर : 4

क्लृप्ती :-

माहिती भाग = प्रश्न     

10×6×12=20×9×x  

यानुसार X = 10×6×12/20×9

= 4

 

 नमूना दूसरा –

उदा.

‘अ’ एक काम 20 दिवसांत पूर्ण करतो. तेच काम पूर्ण करण्यास ‘ब’ ला 30 दिवस लागतात, तर दोघे मिळून ते काम किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    8

2.    12

3.    15

4.    10

उत्तर : 12

स्पष्टीकरण :-

‘अ’ ला एक काम करण्यास 20 दिवस लागतात आणि ‘ब’ ला तेच काम करण्यास 30 दिवस लागतात. त्यानुसार ‘अ’ एक दिवसात 1/20 x काम करतो आणि ‘ब’ एक दिवसात 1/3 x काम करतो

:: दोघे मिळून एक दिवसात 1/20+1/30=3/60+2/60=5/60 भाग काम करतात

दोघे मिळून ते कामा X= 60/5=12 दिवसात पूर्ण करतील.

 

 नमूना तिसरा –

उदा.

‘अ’ हा ‘ब’ च्या दुप्पट वेगाने काम करतो. तर ‘क’ हा ‘अ’ आणि ‘ब’ या दोघांच्या एकत्रित कामाइतके काम करतो. ‘अ’ एकटा 12 दिवसांत एक काम संपवितो तर ‘अ’, ‘ब’, ‘क’ मिळून तेच काम किती दिवसात पूर्ण करतील?

1.    4

2.    12

3.    8

4.    6

उत्तर : 4

स्पष्टीकरण :-

‘अ’ ला एक काम संपविण्यास 12 दिवस लागतात,

जर ‘अ’, ‘ब’ च्या दुप्पट काम करतो, तर ‘ब’ ला ते काम करण्यास 24 दिवस लागतील.

:: ‘अ’ व ‘ब’ हे दोघे एक दिवसात 1/12+1/24=3/24 काम करतील

:: ‘क’ हा ‘अ’ आणि ‘ब’ यांच्या एवढे काम करतो, म्हणजेच 3/24 काम करतो

‘अ’, ‘ब’, ‘क’ मिळून एक दिवसात 3/24+3/24=6/24 भाग काम करतात.

:: तिघे मिळून ते काम 24/6=4 दिवसांत पूर्ण करतील.

 

 नमूना चौथा –

उदा.

एक काम 15 मुले 20 दिवसात पूर्ण करतात. जर 3 मुले 2 पुरुषांएवढे काम करीत असल्यास, तेच काम 20 पुरुष किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    15

2.    8

3.    12

4.    10

उत्तर : 10

स्पष्टीकरण :-

3 मुले = 2 पुरुष म्हणजेच 15 मुले = 10 पुरुष,

यावरून 10 पुरुष ते काम 20 दिवसांत करतात.

:: 20 पुरुष ते काम 10 दिवसांत करतील.

 

 नमूना पाचवा –

उदा.

6 पुरुष किंवा 8 मुले एक काम 24 दिवसांत पूर्ण करतात, तर तेच काम 7 पुरुष आणि 12 मुले एकत्रितरीत्या किती दिवसांत पूर्ण करतील?

1.    12

2.    9

3.    10

4.    16

उत्तर : 9

स्पष्टीकरण :-

6 पुरुष किंवा 8 मुले म्हणजे 3:4 प्रमाण म्हणजेच 4 मुलाएवढे 3 पुरुष काम करतात.

यानुसार 12 मुलाएवढे 9 पुरुष काम करतील आणि 6 पुरुष 24 दिवसांत काम करतील

: 7+9=16 याप्रमाणे  6×24/16 = 9, म्हणजेच 16 पुरुष 9 दिवसांत काम पूर्ण करतील.

बैजिक समीकरणे

नमूना प्रश्न –

म+5=15    :: म=(15-15)=10,

म×5=15     :: म=(15÷15)=3

म-5=15     :: म=(15+15)=20

म÷5=3     :: म=3×5=15

समीकरणात बरोबर चिन्हाच्या पलीकडे संख्या नेताना + चे - आणि – चे +, तसेच × चे ÷ चे × होते.

उदा.

X+25=37; :: X=?

1.    62

2.    12

3.    925

4.    यापैकी नाही

उत्तर : 12

 

 (B) समीकरणे

नमूना पहिला –

उदा.

161/115=x/35;तर x=?

1.    42

2.    49

3.    63

4.    56

उत्तर : 49

क्लृप्ती :-

161 – 115 = 46 ने छेद व अंशाला भाग जात नाही म्हणून 46 चे निम्मे = 23  

∷161/115÷23/23=7/5=7×7/5×7= 49/35

 

नमूना दूसरा –

उदा.

48/x=x/27;तर x=?  

1.    36

2.    54

3.    18

4.    16

उत्तर : 36

क्लृप्ती :-

48/x=x/27=48×27=x×x=x 2= 48×27

x=√16×3×9×3=4×3×3=36

 

नमूना तिसरा –

उदा.

x- 9/199=23/17;तर x=?

1.    161

2.    152

3.    170

4.    146

उत्तर : 170

क्लृप्ती :-

119÷17=7       

x-9=23×7   

x-9=161

:: x=161+9=170

 

नमूना चौथा –

उदा.

X2-7x+12/x-3 =0; तर x ची किंमत किती?

1.    4

2.    0

3.    -4

4.    3

उत्तर : 4

क्लृप्ती :-

(x2-7x+12) ÷ (x-3) = x-4

उदाहरणावरून

x-4 = 0 म्हणून x=4

 

नमूना पाचवा –

उदा.

2a/3 = b+2 तर 2a – 3b =  किती ?

1.    2

2.    4

3.    6

4.    8

उत्तर : 6

स्पष्टीकरण :-

2a/3 = b+2     2a=3b+6,

:: 2a – 3b = 6

 

नमूना सहावा –

उदा.

एका संख्येतून 8 वजा करून 8 ने भागल्यास उत्तर 2 येते, तर त्या संख्येतून 4 वजा करून 5 ने भागल्यास उत्तर काय येईल?

1.    2

2.    3

3.    4

4.    6

उत्तर : 4

स्पष्टीकरण :-

x-8/8 = 2     x-8 = 16     x=24

उदाहरणात दिल्याप्रमाणे 24-4/5 =4

 

नमूना सातवा –

उदा.

एका संख्येचा 5/14 आणि 3/7 यांच्यामध्ये 15 चा फरक आहे; तर ती संख्या कोणती?

1.    105

2.    215

3.    210

4.    420

उत्तर : 210

स्पष्टीकरण :-

3/7=6/14  उदाहरणातील माहिती नुसार 6/14-5/14=1/14 x=15  

:: X= 15×14=210

एकमान पद्धत

(अ) एकमान पद्धत

नमूना पहिला –

उदा.

84 रुपयांना 6 पेन मिळतात;तर दीड डझन पेनांची किंमत किती?

1.    252 रु.

2.    336 रु.

3.    168 रु.

4.    420 रु.

उत्तर : 252 रु.  

स्पष्टीकरण :-

दीड डझन = 18 पेन आणि 6 ची 3 पट = 18

:: 84 ची 3 पट = 84×3 = 252

 

नमूना दूसरा –

उदा.

प्रत्येक विधार्थ्याला 8 वह्या वाटल्या; तर दीड ग्रोस वह्या किती मुलांना वाटता येतील?

1.    16

2.    24

3.    27

4.    36

उत्तर : 27

स्पष्टीकरण :-

एक ग्रोस = 144 किंवा 12 डझन      

:: दीड ग्रोस = 18 डझन

18×12/8 = 27 किंवा एक ग्रोस वह्या 144/8 = 18 मुलांना

:: 1 ½ = 18 च्या दिडपट = 27 मुलांना

 

नमूना तिसरा –

उदा.

एका संख्येचा 1/13 भाग = 13, तर ती संख्या कोणती?

1.    26

2.    121

3.    84

4.    169

उत्तर : 169

क्लृप्ती :-

एक भाग ‘क्ष’ मानू.

उदाहरणानुसार 1/13 क्ष = 13

:: क्ष = 13×13 = 132 = 169 अपूर्णांक व्यस्त करुन गुणणे.

 

नमूना चौथा –

उदा.

60 चा 2/5 =?

1.    12

2.    24

3.    18

4.    30

उत्तर : 24

क्लृप्ती :-

60 चा 2/5 = 60×2/5 = 12×2 = 24  किंवा

1/5 = 2/10 आणि 2/5 = 4/10, 60 चा = 1/10 आणि 60 चा 4/10 = 6×4

 

नमूना पाचवा –

उदा.

80 चा 3/5 हा 60 च्या ¾ पेक्षा कितीने मोठा आहे?

1.    5

2.    3

3.    2

4.    8

उत्तर : 3

क्लृप्ती :-

80 चा 3/5 = 80×3/5 = 48, 60 चा ¾ = 60×3/4 = 45,

उदाहरणानुसार 48-45 = 3

 

नमूना सहावा-

उदा.

400 चा 3/8 हा कोणत्या संख्येचा 5/8 आहे?

1.    200

2.    180

3.    210

4.    240

उत्तर : 240

स्पष्टीकरण :-

400 चा 3/8 = 400×3/8 = 50×3 = 150 आणि क्ष चा 5/8 = 150

:: क्ष = 150×8/5 = 240 किंवा

5 भाग = 400

:: 3 भाग = 400 × 3/5 = 240 किंवा

400×3/8×8/5 = 240

 

नमूना सातवा –

उदा.

350 लीटर पाणी मावणार्‍या टाकीचा 2/7 भाग पाण्याने भरलेला आहे. तर त्या टाकीत अजून किती लीटर पाणी मावेल ?

1.    3.15 ली.

2.    200 ली.

3.    250 ली.

4.    245 ली.

उत्तर : 250 ली.

स्पष्टीकरण :-

350 चा 2/7 = 50×2 = 100 उदाहरणानुसार 350-100 = 250 लीटर

 

नमूना आठवा –

उदा.

रामरावांनी आपल्या शेताच्या 1/3 भागात ऊस लावला, ¼ भागात भुईमुग लावला व उरलेल्या 25 एकारांत ज्वारी लावली, तर रामरावांचे एकूण किती एकर शेत आहे?

1.    50

2.    60

3.    120

4.    75

उत्तर : 60

स्पष्टीकरण :-

1/3+1/4=4/12+3/12=7/12;1-7/12=12/12-7/12=5/12=25 एकर,

:: एकूण शेत = 5/12  चा व्यस्त 12/5 ने 25 ला गुणणे,यानुसार 12/5×25=60

 

 (ब) एकमान पद्धत

नमूना पहिला –

उदा.

16 खुर्च्यांची किंमत 1680 रु. तर एका खुर्चीची किंमत किती?

1.    15 रु.

2.    150 रु.

3.    105 रु.

4.    140 रु.

उत्तर : 105 रु.

स्पष्टीकरण :-

अनेकांवरून एकाची किंमत काढताना भागाकार करावा व एकावरून अनेकांची किंमत काढताना गुणाकार करावा.

यानुसार 1680 ÷ 16 = 105

 

नमूना दूसरा –

उदा.

12 सेकंदांत 1 पोळी लाटून होते; तर अर्ध्या तासात किती पोळ्या लाटून होतील?

1.    250

2.    150

3.    125

4.    180

उत्तर : 150

स्पष्टीकरण :-

60 सेकंद = 1 मिनीट, 12 सेकंदांत 1 पोळी यानुसार

60 सेकंद = 1 मिनीट = 5 पोळ्या

:: 30 मिनिटात = 5×30 = 150

अर्धातास = 30 मिनीटे

:: 60/12 × 30 = 150

सम-विषम व मूळ संख्या

नमूना पहिला :

उदा. X ही विषम संख्या आहे, तर क्रमाने येणारी पुढील विषम संख्या कोणती?

X+3

X+2

X-2

X-1  

उत्तर : X+2

नियम:

1) विषम संख्येत 2 मिळविल्यास पुढील संख्या विषम संख्या मिळते.

2) विषम संख्येत 1 मिळविल्यास पुढील संख्या सम संख्या मिळते.

3) सम संख्येत 2 मिळविल्यास पुढील संख्या सम संख्या मिळते.

4) सम संख्येत 1 मिळविल्यास पुढील संख्या विषम संख्या मिळते.

 नमूना दूसरा :

उदा. खालीलपैकी कोणत्या संख्येला 3 ने गुणाकार सम संख्या येईल?

231

233

235

232

उत्तर : 232

सूत्र :

 विषम संख्या × सम संख्या = सम संख्या

उदा. 232 ही सम संख्या × 3 ही विषम संख्या = 696 ही सम संख्या येईल.

 नमूना तिसरा :

उदा. 40 ते 50 दरम्यानच्या विषम संख्यांनी बेरीज किती?

25

180

225

405

उत्तर : 225

स्पष्टीकरण : 40 ते 50 दरम्यानच्या विषम संख्या = 41, 43. 45, 47, 49 यांची सरासरी = 45 ही मधली संख्या

एकूण बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या (5) = 45 × 5 = 225   किंवा

क्रमश: संख्यांची बेरीज = पहिली संख्या + शेवटची संख्या / 2 × एकूण संख्या

= 41+49 / 2 × 5= 90 / 2 × 5

नियम : क्रमश: 10 नैसर्गिक संख्यांमध्ये 5 चा फरक असतो.

:: 1 ते 50 मध्ये 5 × 5 = 25 चा फरक येईल.

 नमूना चौथा :

उदा. 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांत 1 हा अंक किती वेळा येतो?

21

19

20

18

उत्तर : 21

नियम :

1) 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यात 1 हा अंक 21 वेळा येतो.

2) 0 हा अंक 11 वेळा येतो व राहिलेले 2 ते 9 पर्यंतचे अंक प्रत्येकी 20 वेळा येतात.

3) दोन अंकी संख्येत 1 ते 9 अंक प्रत्येकी 19 वेळा येतात.

4) 1 ते 9 या प्रत्येक अंक असलेल्या दोन अंकी प्रत्येकाच्या 18 संख्या असतात.

ल.सा.वि.आणि म.सा.वि.

·         ल.सा.वि. म्हणजे लघुत्तम साधारण विभाज्य संख्या (LCM) दिलेल्या संख्यानी ज्या लहांनात लहान संख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या म्हणजे त्यांचा ल.सा.वि. होय 

·         ल.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी मोठी संख्यांच असते. 

·         उदा. 12 व 18 चा ल.सा.वि. 36. 

      12 = 2×6 = 2×2×3 

         18 = 2×9 = 2×3×3  

                        = 2×2×3×3

म.सा.वि. (महत्तम साधारण विभाजक) :-

·         म.सा.वि. म्हणजे महत्तम साधारण विभाजक संख्या (HCM) दिलेल्या संख्यांना ज्या मोठयात मोठया संख्येने (विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या अथवा तो विभाजक म्हणजे त्यांचा म.सा.वि. होय. 

·         म.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी लहान संख्याच असते. 

·         उदा. 12 व 18 चा म.सा.वि. = 6
      12 = 2×2×3     

         18 = 2×3×3     

             = 2×3

             = 6

 

·         दोन संख्यांचा गुणाकार = ल.सा.वि. × म.सा.वि 

·         ल.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार / म.सा.वि. 

·         म.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार / ल.सा.वि. 

·         पहली संख्या = ल.सा.वि. × म.सा.वि. / दुसरी संख्या 

·         दुसरी संख्या = ल.सा.वि. × म.सा.वि. / पहिली संख्या 

·         दोन संख्यांतील असामाईक अवयवांचा गुणाकार = ल.सा.वि. / म.सा.वि.

·         दोन संख्यांपैकी लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असामाईक अवयव

·         दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = म.सा.वि. × मोठी असामाईक अवयव 

·         व्यवहारी अपूर्णांकांचा ल.सा.वि. = अंशांचा ल.सा.वि./ छेदांचा म.सा.वि.

उदा. 2/5, 4/10, 6/15     

यांचा ल.सा.वि. = 2, 4, 6 चा ल.सा.वि. / 5,10,15 चा म.सा.वि. = 12/5

 

नमूना पहिला –

दोन संख्यांना ल.सा.वि. 192 व म.सा.वि. 16 आहे. त्यापैकी एक संख्या 64 असल्यास दुसरी संख्या कोणती?

1.    80

2.    48

3.    32

4.    16

उत्तर : 48

क्लृप्ती :-

ल.सा.वि.×म.सा.वि./एक संख्या = दुसरी संख्या, या सूत्रानुसार 192×16/64 = 48

 

नमूना दूसरा –

दोन संख्यांचा गुणाकार 3174 असून त्यांचा म.सा.वि. 23 आहे. तर त्या संख्यांचा ल.सा.वि. किती?

1.    134

2.    128

3.    138

4.    118

उत्तर : 138

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांच्या गुणाकार/म.सा.वि. = ल.सा.वि. = 3174/23 = 138

क्लृप्ती :-

दोन संख्यांचा गुणाकार/ल.सा.वि. =  म.सा.वि.

 

नमूना तिसरा –

दोन संख्यांचा म.सा.वि. 25 व ल.सा.वि. 350 आहे, तर त्यापैकी लहान संख्या कोणती ?

1.    45

2.    175

3.    35

4.    50

उत्तर : 50

क्लृप्ती :-

ल.सा.वि.×म.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार

मोठी संख्या = म.सा.वि. × मोठ्या असमाईक अवयव = 25×7 = 175

लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असमाईक अवयव = 25×2 = 50

सूत्र:-

ल.सा.वि./म.सा.वि.  = असामाईक अवयवांचा गुणाकार

:: 350/25 = 14 = 7×2

 

नमूना चौथा –

दोन संख्यांचा गुणाकार 270 व म.सा.वि. 3 आहे, तर त्यापैकी लहान संख्या कोणती?

1.    18

2.    15

3.    12

4.    24

उत्तर : 15

क्लृप्ती :-

गुणाकार./म.सा.वि.  = ल.सा.वि.  270/3  = 90

असमाईक अवयवांचा गुणाकार = ल.सा.वि./म.सा.वि. = 90/3 = 30 = 5×6

लहान संख्या = म.सा.वि. × लहान असामाईक अवयव यावरून लहान संख्या = 5×3 =15

 

नमूना पाचवा –

अशी तीन अंकी लहानात लहान संख्या कोणती, कि जिला 5,12 व 15 या संख्यांनी भागल्यास प्रत्येक वेळी 4 उरतात?

1.    120

2.    124

3.    240

4.    180

उत्तर : 124

स्पष्टीकरण :-

5, 12, 15 चा ल.सा.वि. = 60 ही दोन अंकी संख्या आहे.

म्हणून 60×2 = 120+4 = 124 ही तीन अंकी संख्या उत्तर येईल.

 

नमूना सहावा –

अशी लहानात लहान संख्या शोधून काढा, कि जिला 12 ने भागल्यास बाकी 5 उरते व 16 ने भागल्यास बाकी 9 उरते आणि 18 ने भागल्यास बाकी 11 उरते?

1.    149

2.    135

3.    137

4.    133

उत्तर : 137

स्पष्टीकरण : -

12, 16 व 18 यांचा ल.सा.वि. = 144

:: 144-7 = 137

[12-5 = 7, 16-9 =7, 18-11 = 7]

 

 

नमूना सातवा –

एका संख्येला 9 ने भागल्यास बाकी 8 उरते व 10 ने भागल्यास बाकी 9 उरते, तर त्या संख्येची दुप्पट किती?

1.    89

2.    180

3.    178

4.    144

उत्तर : 178

स्पष्टीकरण :-

9 व 10 चा ल.सा.वि. = 90

उदाहरणातील माहितीप्रमाणे  

9-8=10-9=1 यानुसार 90-1=89

:: संख्येची दुप्पट

सूत्र :-

अपूर्णाकांचा ल.सा.वि. = अंशांचा ल.सा.वि./छेदांचा म.सा.वि.

 

नमूना आठवा –

दोन संख्या अनुक्रमे 4x व 6x असून, त्यांचा म.सा.वि 16 आहे व ल.सा.वि. 96 आहे. तर x = किती ?

1.    16

2.    32

3.    8

4.    12

उत्तर : 8

स्पष्टीकरण :

दोन संख्यांचा गुणाकार = ल.सा.वि. × म.सा.वि.

:: 4x × 6x = 96×16

:: 24x2 = 96×16  x2 = 64

शेकडेवारी

1) कोणत्याही संख्येचे दिलेले टक्के काढताना प्रथम 1% (टक्का) अथवा 10% काढा. त्यानंतर पट पद्धतीने दिलेले टक्के तोंडी काढता येतात.

·         उदा. 500 चे 10% = 50 (10 टक्के काढताना एक शून्य कमी करा.) 

·         125 चे 10% = 12.5 अथवा एकक स्थानी शून्य नसल्यास एका स्थळानंतर डावीकडे दशांश चिन्ह धा. 

·         500 चे 30% = 150     

·         500 चे 10% = 50   

·         30% = 10%×3 

·         = 50×3 = 150 

·         500 चे 8% = 40 (संख्येच्या 1%काढताना शेवटचे दोन शून्य कमी करा अथवा शून्य नसल्यास डावीकडे दोन दशांश स्थळांवर दशांश चिन्ह धा.) 

·         500 ची 1% = 5 

·         :: 500 चे 8% = 40

2) दिलेल्या संख्येचे 12.5% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 1/8 ने गुणा.

·         उदा. 368 चे 12.5% = ? 

·         368×12.5/100

·         = 368×1/8= 46 

3) दिलेल्या संख्येचे 20% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 1/5 (0.2) ने गुणा.

·         उदा. 465 चे 20% = 93    
 

·         465×20/100

·         = 465×1/5 ने गुणा = 93 

4) दिलेल्या संख्येचे 25% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला ¼ (0.25) ने गुणा.

·         उदा. 232 चे 25% = 58 

·         232×25/100

·         = 232×1/4= 58 

5) दिलेल्या संख्येचे 37 1/2% (37.5) काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 3/8 ने गुणा.

·         उदा. 672 चे 37.5% = 252    
 

·         672×37.5/100 

·         = 672×3/8 

·         = 252 

6) दिलेल्या संख्येचे 50% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला ½ (0.5) ने गुणा.

·         उदा. 70 चे 50% = 35   
 

·         70×50/100 

·         = 70×1/2 

·         = 35 

7) दिलेल्या संख्येचे 62 ½% (62.5) काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 5/8 ने गुणा.

·         उदा. 400 चे 62.5% = 250  
   

·         400×62.5/100 

·         = 400×5/8

·         = 250 

8) दिलेल्या संख्येचे 75% काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला ¾ ने गुणा.

·         उदा. 188 चे 75% = 141  
   

·         188×3/4 

·         = 141 

9) दिलेल्या संख्येचे 87 ½% (87.5) काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येला 7/8 ने गुणा.

·         उदा. 888 चे 87.5% = 777  
   

·         888 × 87.5/100

·         = 888×7/8 

·         = 777

10) दिलेल्या संख्येचे त्या संख्येएवढेच टक्के काढावयाचे असल्यास, त्या संख्येचा वर्ग काढून डावीकडे दोन दशांश स्थळानंतर दशांश चिन्ह धा.

·         उदा. 25 चे 25% = 6.25

·         25 × 25/100 

·         = 625/100 

·         = 6.25

 नमूना पहिला –

उदा.

2400 पैकी 144= किती टक्के?

1.    8%

2.    6%

3.    5%

4.    4%

उत्तर : 6%

स्पष्टीकरण :-

टक्के (%) = 144×100/2400=144/24 = 6%

 नमूना दूसरा –

उदा.

X चे 7% = 126; तर X=?

1.    1600

2.    1800

3.    1500

4.    1400

उत्तर : 1800

स्पष्टीकरण :-

X × 7/100=126      

:: X=126×100/7=18×100 = 1800

 नमूना तिसरा –

उदा.

1500 चे 40% = X चे 8%;  :: X=?

1.    6000

2.    9000

3.    7500

4.    8500

उत्तर : 7500

स्पष्टीकरण :-

1500×40/100=X×8/100  

:: 1500×40=X=8

:: X=1500×40/8=1500×5=7500     किंवा

तोंडी काढताना     8 ची 5 पट = 40, यानुसार 1500 ची 5 पट = 7500 

 नमूना चौथा –

उदा.

1200 चे 8% = 400 चे किती टक्के?

1.    16%

2.    24%

3.    20%

4.    18%

उत्तर : 24%

स्पष्टीकरण :-

:: X=1200×8/100=400×X/100        
 :: 1200×8=400×X

:: X=1200×8/400=3×8=24%         
किंवा

तोंडी काढताना 400 ची 3 पट = 1200 आणि 8 ची 3 पट = 24%

 नमूना पाचवा –

उदा.

A ला B पेक्षा 10% गुण जास्त मुळाले, तर B ला A पेक्षा किती टक्के गुण कमी मिळाले ?

1.    10%

2.    9%

3.    9 1/11%

4.    11 1/11%

उत्तर : 9 1/11%

सूत्र :

B ला A पेक्षा टक्के कमी गुण = 100×टक्के/100+टक्के = 100×10/100+10= 1000/110 = 9 1/11%

 नमूना सहावा –

उदा.

A ला B पेक्षा 10% गुण कमी मिळाले, तर B ला A पेक्षा किती टक्के गुण जास्त मिळाले ?

1.    9 1/11%

2.    10%

3.    11 1/9%

4.    यापैकी नाही  

उत्तर : 11 1/9%

सूत्र :-

B ला A पेक्षा टक्के जास्त गुण = 100×टक्के/100-टक्के = 100×10/100-10 = 1000/90 = 100/9 = 11 1/9%

 नमूना सातवा –

उदा.

एका परिक्षेत 30% विधार्थी गणितात नापास झाले. 20% विधार्थी इंग्रजीत नापास झाले व 10% विधार्थी दोन्ही विषयांत नापास झाले, तर दोन विषयांच्या घेतलेल्या या परिक्षेत किती टक्के विधार्थी उत्तीर्ण झाले?

1.    40%

2.    30%

3.    70%

4.    60%

उत्तर : 60%

क्लृप्ती :-

परिक्षेत नापास झालेल्यांची टक्केवारी =                       (गणितात नापास) +     (इंग्रजीत नापास)  - (दोन्हीविषयांत नापास)

केवळ गणितात नापास विधार्थी %=30-10=20%                   30%     +        20%           -    10                   = 40%

इंग्रजीत नापास विधार्थी %=20-10=10%        

दोन्ही विषयात मिळून नापास %=10%                                       गणित नापास →  (30%)

:: परिक्षेत नापास विधार्थ्यांची टक्केवारी = 40%                             इंग्रजी नापास →   (10%)

:: उत्तीर्ण विधार्थ्यांची टक्केवारी = 60%                                     दोन्ही विषयात नापास → (20%)       

 नमूना आठवा –

उदा.

150 चा शेकडा 60 काढून येणार्‍या संख्येचा पुन्हा शेकडा 60 काढला; तर मुळची संख्या कितीने कमी झाली?

1.    96

2.    54

3.    90

4.    30

उत्तर : 96

स्पष्टीकरण :

150 चे 60% = 90     90 चे 60% = 54

:: 150-54 = 96

 नमूना नववा –

उदा.

एका परिक्षेत 70% विधार्थी इंग्रजीत उत्तीर्ण झाले, 65% विधार्थी गणितात उत्तीर्ण झाले, 25% विधार्थी दोन्ही विषयांत अनुत्तीर्ण झाले. जर 3000 विधार्थी दोन्ही विषयात उत्तीर्ण झाले असतील, तर त्या परीक्षेस एकूण किती विधार्थी बसले होते?

1.    7500

2.    5000

3.    6000

4.    8000

उत्तर : 5000

स्पष्टीकरण :-

                   इंग्रजी     गणित     दोन्ही विषयांत अनुत्तीर्ण     परिक्षेत एकूण अनुत्तीर्ण विधार्थी %=

उत्तीर्ण           70%      65%      25%                        30+35-25 = 40%    

अनुउत्तीर्ण       30%      35%                 

:: परिक्षेत एकूण अनुउत्तीर्ण विधार्थी = 40%

:: उत्तीर्ण विधार्थी = 100-40 = 60%

    :: 60% विधार्थी = 3000

    :: एकूण विधार्थी = 3000×100/60 = 5000

 नमूना दहावा –

उदा.

एका गावाची लोकसंख्या 12,000 आहे. ती दरवर्षी 10% ने वाढते, तर 3 वर्षांनंतर ती किती होईल ?

1.    15,297

2.    15,792

3.    15,972

4.    15,927

उत्तर : 15,972

वर्ष (n)    मुद्दल (P)    दर (R)    व्याज (I)    रास (A)

1    12,000    10%    1200    13,200

2    13,200    10%    1320    14,500

3    14,500    10%    1452    15,972 15,927

सूत्र :-

A=P×(1+r/100)n :: A=12,000×(11/10)3

= 12,000×1331/1000=1331×12=15,972

 नमूना अकरावा –

उदा.

एका गावची लोकसंख्या 3,630 आहे, ती दर 10 वर्षानी 10% ने वाढते; तर 20 वर्षापूर्वी त्या गावची लोकसंख्या किती असावी?

1.    2,500

2.    3,000

3.    3,300

4.    2,904

उत्तर : 3,000

क्लृप्ती :-

P= A/(1×r/100)n     ∷ P= 3630/((11/10)2 )=(3630/11)/10×11/10  

∷ 3,630×10/11×10/11=3,000

 नमूना बारावा -

उदा.

एका खोलीचे भाडे शे. 20 ने वाढविले. पुन्हा काही महिन्यांनंतर शे. 25 ने वाढविले, तर मूळ भाडयात शेकडा वाढ किती झाली?

1.    20%

2.    45%

3.    25%

4.    50%

उत्तर : 50%

स्पष्टीकरण :-

मूळ भाडे 100 मानू     20% वाढ = 120 वर पुन्हा 25% वाढ = 120 ×25/100=30

मूळ भाडयातील वाढ = 20+30 = 50%

नमूना तेरावा –

उदा.

एका पुस्तकाची किंमत शे. 20 ने कमी केल्यास त्याचा खप 25% ने वाढला. तर पूर्वीच्या उत्पन्नात शे. कितीने फरक पडला?

1.    20% कमी

2.    25% जास्त

3.    25% कमी

4.    फरक नाही

उत्तर : फरक नाही

स्पष्टीकरण :

100 प्रतींची 100 रु. किंमत मानू  100-20=80रु.   100 प्रती = 80 रु.

तर 125 प्रती = 125/100×80/1=100  आताचे उत्पन्न – पूर्वीचे उत्पन्न = फरक

= 100-100 = 0

 नमूना चौदावा –

उदा.

साखरेची किंमत शे. 60 वाढली. घरात साखर किती टक्के कमी वापरावी म्हणजे खर्चात वाढ होणार नाही?

1.    37.5%

2.    60%

3.    40%

4.    20%

उत्तर : 37.5%

सूत्र :

(100×टक्के )/(100+60 )=(100×60 )/(100+60 )=(100×60 )/160=6000/160=37.5%   

नमूना पंधरावा –

उदा.

3/5%  हे दशांश अपूर्णांकात कसे लिहाल?

1.    0.6

2.    0.006

3.    0.06

4.    60.0

उत्तर : 0.006

स्पष्टीकरण :

प्रथम व्यवहारी अपूर्णांकाचे दशांश अपूर्णांकात रूपांतर करा व नंतर 100 ने भागा.

अथवा

दोन स्थळांनंतर डावीकडे दशांश चिन्ह धा. 3/5%=0.6/100=0.006

 नमूना सोळावा –

उदा.

7/12  चे 6%=किती ?

1.    0.35

2.    0.035

3.    3.5

4.    0.0035

उत्तर : 0.035

 नमूना सतरावा –

उदा.

एका संख्या 12.5% नी वाढविल्यास 81 होते, तर ती संख्या कोणती?

1.    70

2.    72

3.    68.5

4.    64

उत्तर : 72

स्पष्टीकरण :-

ती संख्या X मानू,    

·         :: X+X चे 12.5% = x+1/8x=81

:: 9/8x= 81  यावरून x=81×8/9=72

******************************************************************************